Шаг 90.
Вычисление функциональных характеристик стационарных систем обслуживания

    На этом шаге мы рассмотрим вычисление функциональных характеристик стационарных систем обслуживания.

    Автостоянка для посетителей колледжа имеет всего пять мест. Автомобили прибывают на стоянку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью шесть автомобилей в час. Время пребывания автомобилей на стоянке является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним 30 мин. Посетители, которые не могут найти свободного места на стоянке непосредственно по прибытии, могут временно ожидать освобождения места на территории стоянки. Таких мест для ожидания на стоянке имеется три. Если и стоянка, и все места для ожидания заполнены, то прибывшие автомобили вынуждены искать другую автостоянку. Требуется определить следующее:

• вероятностьрп того, что в системе находится n автомобилей,
• эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку,
• среднее количество автомобилей на стоянке,
• среднее время нахождения автомобиля в очереди на территории стоянки,
• среднее количество занятых мест на автостоянке.

    Прежде всего, заметим, что место для стоянки в рассматриваемой ситуации выступает в роли сервиса, так что система имеет всего с = 5 средств обслуживания. Максимальная вместимость системы равна 5 + 3 = 8 автомобилей. Вероятность р_n может быть определена как частный случай из общей модели, рассмотренной на шаге 86. Например, имеем:

   λ_n = 6 автомобилей в час, n = 0, 1, ..., 8,
   при n = 1, 2, ..., 5   μ_n = (60/30)n = 2n автомобилей в час,
   при n = 6, 7, 8   μ_n = (60/30)*5 = 10 автомобилей в час.

    Следовательно, из соотношений, полученных на шаге 86, вычисляем

   при n = 1, 2, ..., 5   p_n = [(6/2)ⁿ/n!]*p₀,
   при n = 6, 7, 8   p_n = [(6/2)ⁿ/(5!5^n-5)]*p₀.

    Значение p₀ вычисляется путем подстановки значений для р_n, n = 1, 2, ..., 8, в уравнение р₀ + р₁ + ... + р₈ = 1.

    В результате получаем

p₀ + p₀(3/1! + 3²/2! + 3³/3! + 3⁴/4! + 3⁵/5! + 3⁶/[5!5¹] + 3⁷/[5!5²] + 3⁸/[5!5³]) = 1.

    Решением этого уравнения является р₀ = 0,04812. Найденное значение р₀ позволяет вычислить все вероятности от р₁ до р₈.

Таблица 1. Значения вероятностей р_n

n	1	2	3	4	5	6	7	8
рn	0,14436	0,21654	0,21654	0,16240	0,09744	0,05847	0,03508	0,02105

    Эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку λ_эфф можно вычислить с использованием принципиальной схемы (рис. 1), в соответствии с которой клиенты из источника поступают с интенсивностью λ.

Рис. 1. Схема стационарной системы обслуживания

    Прибывающий автомобиль может поступить на стоянку с интенсивностью λ_эфф или уехать в поисках другой стоянки с интенсивностью λ_потери, т.е. λ = λ_эфф + λ_потери. Автомобиль не может въехать на стоянку, если там уже имеется 8 автомобилей. Это значит, что часть автомобилей, которые не смогут попасть на стоянку, пропорциональна р₈. Следовательно,

   λ_потери = λp₈ = 6 * 0,02105 = 0,1263 автомобилей в час,
   λ_эфф = λ - λ_потери = 6 - 0,1263 = 5,8737 автомобилей в час.

    Среднее количество автомобилей на стоянке (тех, которые занимают места стоянки, и тех, которые ожидают места) определяется значением L_s — средним числом клиентов в системе. Значение L_s определяется через р_n следующим образом.

   L_s = 0p₀ + 1p₁ + ... + 8p₈ = 3,1286 автомобилей.

    Автомобиль, ожидающий, пока освободится место для стоянки, фактически находится в очереди. Следовательно, время его ожидания равно величине W_s = L_s/λ_эфф = 0,53265 часа. Для вычисления W_q используем определение W_q = W_s - 1/μ = 0,53265 - 1/2 = 0,03265 часа.

    Среднее количество занятых мест на автостоянке равно среднему значению "занятых сервисов" и поэтому вычисляется следующим образом = L_s - L_q = λ_эфф/μ = 2,9368 мест.

    Отсюда получаем, что коэффициент использования мест на стоянке равен /c = 0,29368/5 = 0,58736.

    На следующем шаге мы рассмотрим одноканальную модель с пуассоновским входным потоком.

Предыдущий шаг Содержание Следующий шаг