Шаг 117.
Задача инвестирования

    На этом шаге мы рассмотрим задачу инвестирования.

    Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сделать инвестиции P₁, P₂,..., Р_n. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r₁, а второй - r₂. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы. Премиальные меняются от года к году, и для i-го года равны q_i1 и q_i2 в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются в конце года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находиться там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиций на следующие n лет.

    Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этап i представляется порядковым номером года i, i = 1, 2,..., n.
2. Вариантами решения на i-м этапе (для i-го года) являются суммы I_i и I_i инвестиций в первый и второй банк соответственно.
3. Состоянием х_i на i-м этапе является сумма денег на начало i-го года, которые могут быть инвестированы.

Заметим, что по определению Следовательно,

    где i = 2, 3, ..., n. Сумма денег x_i которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (i - 1)-го года.

    Пусть f_i(x_i) — оптимальная сумма инвестиций для интервала от (i-го до n-го года при условии, что в начале i-го года имеется денежная сумма x_i. Далее обозначим через s_i накопленную сумму к концу n-го года при условии, что I_i и (x_i - I_i) - объемы инвестиций на протяжении i-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая α_i = (1 + r_i), i = 1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

    Поскольку премиальные за n-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для s_n добавлены q_n1 и q_n2.

    Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид

    где x_i+1 выражается через x_i в соответствии с приведенной выше формулой, а f_n+1(x_n+1) ≡ 0.

    На следующем шаге рассмотрим применение задачи инвестирования.

Предыдущий шаг Содержание Следующий шаг