На этом шаге мы рассмотрим понятие экономичности системы счисления.
Число в системе счисления p с k разрядами, очевидно, будет иметь наибольшее значение в том случае, если все цифры числа окажутся максимальными, т.е. равными p – 1. Тогда
(8)
Количество разрядов числа при
переходе от одной системы счисления к другой в общем случае меняется. Очевидно,
если p =q
(
– не
обязательно целое), то (Zp)max = pk – 1 =q
k –
1. Т.е. количество разрядов числа в системах счисления p и q будут различаться
в раз.
Очевидно соотношение:
(9)
При этом
основание логарифма никакого значения не имеет, поскольку
определяется
отношением логарифмов. Сравним количество цифр в числе 9910 и его
представлении в двоичной системе счисления: 9910 = 11000112;
т.е. двоичная запись требует 7 цифр вместо 2 в десятичной.
=
ln(10)/ln(2) = 3,322; следовательно, количество цифр в десятичном представлении
нужно умножить на 3,322 и округлить в большую сторону: 2·3,322 = 6,644
7.
Введем понятие экономичности представления числа в данной системе счисления.
Под экономичностью системы счисления будем понимать то количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества цифр.
Речь в данном случае идет не о количестве разрядов, а об общем количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как различные числа. Поясним на примере: пусть в нашем распоряжении имеется 12 цифр. Мы можем разбить их на 6 групп по 2 цифры ("0" и "1") и получить шестиразрядное двоичное число; общее количество таких чисел, как уже неоднократно обсуждалось, равно 26. Можно разбить заданное количество цифр на 4 группы по три цифры и воспользоваться троичной системой счисления – в этом случае общее количество различных их сочетаний составит 34. Аналогично можно произвести другие разбиения; при этом число групп определит разрядность числа, а количество цифр в группе – основание системы счисления. Результаты различных разбиений можно проиллюстрировать таблицей:
| Основание системы счисления (p) | Разрядность числа (k) | Общее количество различных чисел (N) |
|---|---|---|
| 2 | 6 | 26 = 64 |
| 3 | 4 | 34 = 81 |
| 4 | 3 | 43 = 64 |
| 6 | 2 | 62 = 36 |
| 12 | 1 | 121 = 12 |
Из приведенных оценок видно, что наиболее экономичной оказывается троичная система счисления, причем, результат будет тем же, если исследовать случаи с другим исходным количеством цифр.
Точное расположение максимума экономичности может быть установлено путем следующих рассуждений. Пусть имеется n знаков для записи чисел, а основание системы счисления p. Тогда количество разрядов числа k = n/p, а общее количество чисел (N), которые могут быть составлены, равно:
(10)
Если считать N(p) непрерывной функцией, то можно найти то значение pm, при котором N принимает максимальное значение. Функция имеет вид, представленный на рисунке 1.
Рис.1. Зависимость количества чисел от основания системы счисления при использовании
12-ти возможных цифр для записи чисел
Для нахождения положения максимума нужно найти производную функции N(p), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно p.
(11)
Приравнивая полученное выражение к нулю, получаем ln p = 1, или pm = e, где e=2,71828… – основание натурального логарифма. Ближайшее к e целое число, очевидно, 3 – по этой причине троичная система счисления оказывается самой экономичной для представления чисел. В 60-х годах в нашей стране была построена вычислительная машина "Сетунь", которая работала в троичной системе счисления. Предпочтение все же отдается двоичной системе, поскольку по экономичности она оказывается второй за троичной, а технически она реализуется гораздо проще остальных. Таким образом, простота технических решений оказывается не единственным аргументом в пользу применения двоичной системы в компьютерах.
На следующем шаге мы рассмотрим перевод чисел между системами счисления 2 – 8 – 16.
