На этом шаге мы рассмотрим понятие предиката и логической функции. Логические операции с предикатами.

Предикат - логическая функция, определенная на некотором множестве M, то есть такая n-местная функция p, которая каждому упорядоченному набору (x₁, ..., x₁) из множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое p(x₁, ..., x₁). В этом случае p называется n-местным предикатом на множестве M.

Из курса математической логики, нам известно, что высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 ("истина") или 0 ("ложь"). Исходя из этого, можно дать определение предиката для различной местности.

Пусть задано произвольное множество М ≠ ∅.

Определение. Одноместным предикатом р(х) на множестве М называется функция вида

. (5)

Двуместным предикатом p(x₁,x₂) на множестве М называется функция вида

(6) и т.д.

Например, пусть в качестве множества M задано множество натуральных чисел N. Обозначим через p(x): .

Тогда, в зависимости от значения x, логическая функция p(x) принимает либо значение 1 ("истина") либо значение 0 ("ложь"). Действительно, при значениях x =2, 3, 5, 7, ... , функция p(x) = 1 и в случае, когда x = 4, 6, 8, 9, ... p(x) = 0.

В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве свойства взято "простое число", и это свойство обозначено через p.

Пусть, на множестве действительных чисел задан двуместный предикат p(x,y), означающие "x меньше y".

Этот предикат становится истинным или ложным высказыванием, если x и y заменить действительными числами: "2 меньше 10", "3 меньше 5", "1,9 меньше 0,9" и т.д. Как видим, в этом случае рассматривается отношения между элементами в множестве R. Тогда через p в данном случае обозначено отношение между объектами, где в качестве объектов взяты x и y.

Таким образом, другими словами, одноместный предикат отражает наличие или отсутствие того или иного свойства у объекта, а предикат от нескольких переменных выражает отношение между объектами в рассматриваемом множестве.

Пусть задано множество M - область определения предиката p(x₁, ..., p_n) (М ≠ ∅ - произвольное множество).

Определение. Подмножество множества M, состоящее из тех значений переменных, при которых данный предикат превращается в истинностное высказывание, называется областью истинности предиката и обозначается следующим образом:

. (8)

Операции с предикатами

Пусть на множестве М ≠ ∅ заданы предикаты p(x) и q(x).

Определение. Конъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется бинарный предикат, обозначаемый r(x) = p(x) ∧ q(x), который принимает значение "истина" для тех и только тех значений, при которых оба исходных предиката p(x) и q(x) превращаются в истинное высказывание.

Пусть M₁ - множество истинности предиката p(x), M₂ - множество истинности предиката q(x). Тогда множеством истинности предиката r(x) является множество вида:

. (9)

Определение. Дизъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется новый предикат, обозначаемый s(x) = p(x) V q(x), который принимает значение "истина" для тех и только тех значений x∈M, при которых хотя бы одно из высказываний (предикатов) p(x) и q(x) истинно.

(10)

- множество истинности предиката s(x).

Определение. Отрицанием предиката p(x) с областью определения M называется предикат с той же областью определения, обозначаемый , который принимает значение "истина" для тех и только тех значений x∈M, при которых p(x) есть ложное высказывание.

Множеством истинности предиката является множество:

(11)

Определение. Импликацией предикатов p(x) и q(x) называется новый предикат, обозначаемый z(x) = p(x) -> q(x), который принимает значение "ложь" для тех и только тех значений x∈M, при которых предикат p(x) является истинным высказыванием, а q(x) - ложным.

Множеством истинности предиката z(x) является множество:

. (12)

На следующем шаге мы рассмотрим операции навешивания кванторов.

Предыдущий шаг Содержание Следующий шаг