На этом шаге мы рассмотрим функциональные характеристики стационарных систем обслуживания.
Основными функциональными характеристиками систем массового обслуживания являются следующие.
Ls — среднее число находящихся в системе клиентов,
Lq — среднее число клиентов в очереди,
Ws — средняя продолжительность пребывания клиента в системе
Wq — средняя продолжительность пребывания клиента в очереди,
— среднее количество занятых средств обслуживания (сервисов).
Cистема включает как очередь, так и средства обслуживания.
Покажем, как перечисленные функциональные характеристики получаются (прямо или косвенно) из вероятностей
рn — вероятностей того, что в системе находится n клиентов. В частности,
имеем следующее.
Ls = ∑npn, n = 1, 2, ... ∞
Lq = ∑(n-c)pn, n = c + 1, ... ∞
Зависимость между Ls и Ws (а также между Lq и Wq), известная в литературе по теории массового обслуживания как формула Литтла, имеет вид
Ls = λэффWs
Lq = λэффWq
Эти соотношения справедливы при достаточно общих условиях. Параметр λэфф представляет собой эффективную интенсивность поступления клиентов в систему обслуживания. Он равен (исходной) интенсивности поступления клиентов λ, когда все прибывающие клиенты имеют возможность попасть в обслуживающую систему. Если же некоторые клиенты не имеют такой возможности по той причине, что она заполнена (например, заполненная автостоянка), то λэфф < λ.
Существует также прямая зависимость между величинами Ws и Wq. По определению: средняя продолжительность пребывания в системе складывается из среднего времени пребывания в очереди и среднего времени обслуживания.
Математически это записывается в следующем виде Ws = Wq + 1/μ.
Теперь можно получить формулу, связывающую Ls и Lq, умножая обе части последнего соотношения на λэфф и используя формулу Литтла. В результате получаем Ls = Lq + λэфф/μ.
По определению разность между средним числом находящихся в системе клиентов Ls и
средним числом клиентов в очереди Lq равна среднему количеству занятых узлов
обслуживания . Следовательно, имеем
= Ls - Lq = λэфф/μ.
Поэтому коэффициент использования узлов обслуживания вычисляется как отношение c/.
На следующем шаге рассмотрим вычисление функциональных характеристик стационарных систем обслуживания.
