На этом шаге мы рассмотрим рекуррентный алгоритм прямой прогонки.
Пусть fi(xi) — кратчайшее расстояние до узла хi, на этапе i, d(xi-1, xi) — расстояние от узла xi-1 до узла xi. Тогда fi-1 вычисляется на основе значений fi с помощью следующего рекуррентного уравнения.
При i = 1 полагаем f0(x0) ≡ 0. Это уравнение показывает, что кратчайшие расстояния fi(xi) на этапе i должны быть выражены как функции следующего узла хi. В терминологии динамического программирования х, именуется состоянием системы на этапе i.
В действительности состояние системы на этапе i - это информация, связывающая этапы между собой, при этом оптимальные решения для оставшихся этапов могут приниматься без повторной проверки того, как были получены решения на предыдущих этапах. Такое определение состояния системы позволяет рассматривать каждый этап отдельно и гарантирует, что решение является допустимым на каждом этапе.
Пример. Задача о кратчайшем пути
Предположим, необходимо выбрать кратчайший путь между двумя городами. Сеть дорог, показанная на рис. 1, представляет возможные маршруты между исходным городом, находящимся в узле 1, и конечным пунктом, который находится в узле 7. Маршруты проходят через промежуточные города, обозначенные на сети узлами с номерами 2-6.
Рис. 1. Сеть дорог
Можно решить эту задачу посредством полного перебора всех маршрутов между узлами 1 и 7 (имеется пять таких маршрутов). Однако в большой сети полный перебор является неэффективным с вычислительной точки зрения.
Чтобы решить эту задачу с помощью методов динамического программирования, сначала разделим ее на этапы. Вертикальные пунктирные линии на рис. 2 очерчивают три этапа задачи. Далее выполняются вычисления для каждого этапа в отдельности.
Рис. 2. Декомпозиция задачи на три этапа
Общая задача состоит в вычислении кратчайших (постепенно накапливаемых) расстояний ко всем вершинам этапа с последующим использованием этих расстояний в качестве исходных данных для следующего этапа. Рассматривая узлы, относящиеся к первому этапу, замечаем, что каждый из узлов 2, 3 и 4 связан с начальным узлом 1 единственной дугой (рис. 2). Следовательно, для первого этапа имеем следующее.
Этап 1. Итоговые результаты.
Кратчайший путь к узлу 2 равен 7 миль (из узла 1).
Кратчайший путь к узлу 3 равен 8 миль (из узла 1).
Кратчайший путь к узлу 4 равен 5 миль (из узла 1).
Далее переходим ко второму этапу для вычисления кратчайших (накопленных) расстояний к узлам 5 и 6. Рассматривая узел 5 первым, из рис. 2 замечаем, что есть три возможных маршрута, по которым можно достичь узла 5, а именно (2, 5), (3, 5) и (4, 5). Эта информация вместе с кратчайшими расстояниями к узлам 2, 3, и 4 определяет кратчайшее (накопленное) расстояние к узлу 5 следующим образом.
Аналогично для узла 6 имеем следующее.
Этап 2. Итоговые результаты.
Кратчайший путь к узлу 5 равен 12 миль (из узла 4).
Кратчайший путь к узлу 6 равен 17 миль (из узла 3).
Последним шагом является третий этап. Конечный узел 7 можно достичь как из узла 5, так и 6. Используя итоговые результаты этапа 2 и расстояния от узлов 5 и 6 к узлу 7, получаем следующее.
Этап 3. Итоговые результаты.
Кратчайший путь к узлу 7 равен 21 миле (из узла 5).
Приведенные вычисления показывают, что кратчайшее расстояние между узлами 1 и 7 равно 21 миле. Города, через которые проходит кратчайший маршрут, определяются следующим образом. Из итоговых результатов третьего этапа следует, что узел 7 связывается с узлом 5. Далее из итоговых результатов второго этапа следует, что узел 4 связывается с узлом 5. Наконец, из итоговых результатов первого этапа следует, что узел 4 связывается с узлом 1. Следовательно, оптимальным маршрутом является последовательность 1 → 4 → 5 → 7.
На следующем шаге рассмотрим реккурентный алгоритм обратной прогонки.
