На этом шаге рассмотрим алгоритм двухэтапного метода решения задач линейного программирования.
Двухэтапный метод полностью лишен тех недостатков, которые присуши М-методу. Как следует из названия этого метода, процесс решения задачи линейного программирования разбивается на два этапа. На первом этапе ведется поиск начального допустимого базисного решения. Если такое решение найдено, то на втором этапе решается исходная задача.
Этап 1. Задача линейного программирования записывается в стандартной форме, а в ограничения добавляются необходимые искусственные переменные (как и в М-методе) для получения начального базисного решения. Решается задача линейного программирования минимизации суммы искусственных переменных с исходными ограничениями. Если минимальное значение этой новой целевой функции больше нуля, значит, исходная задача не имеет допустимого решения, и процесс вычислений заканчивается. (Напомним, что положительные значения искусственных переменных указывают на то, что исходная система ограничений несовместна.) Если новая целевая функция равна нулю, переходим ко второму этапу.
Этап 2. Оптимальное базисное решение, полученное на первом этапе, используется как начальное допустимое базисное решение исходной задачи. Удаление искусственных переменных в конце первого этапа имеет смысл только тогда, когда все они являются небазисными. Однако возможна ситуация, когда в конце первого этапа искусственные переменные останутся в базисе, но будут иметь нулевые значения. В этом случае такие переменные при необходимости будут формировать часть начального базисного решения для второго этапа. При этом необходимо так изменить вычисления, выполняемые на втором этапе, чтобы искусственные переменные никогда не смогли принять положительные значения ни в каких итерациях симплекс-метода.
Существует простое правило, которое гарантирует, что нулевая базисная искусственная переменная на втором этапе никогда не станет положительной. Если в ведущем столбце коэффициент, соответствующий нулевой базисной искусственной переменной, положителен, тогда ведущий элемент определяется автоматически (поскольку ему соответствует минимальное отношение, равное нулю) и искусственная переменная на следующей итерации становится небазисной. Если ведущий элемент равен нулю, следующая итерация оставляет искусственную переменную нулевой. И, наконец, рассмотрим отрицательный ведущий элемент. В этом случае минимальное отношение не ассоциируется с базисной (нулевой) искусственной переменной. Если минимальное отношение будет положительным, то на следующей итерации искусственная переменная примет положительное значение. Чтобы исключить эту возможность, мы принуждаем искусственную переменную всегда оставаться в базисном решении. Поскольку искусственная переменная равна нулю, ее удаление из базисного решения не влияет на то, будет ли допустимым решение из оставшихся в базисе переменных.
Итак, правило для второго этапа заключается в том, чтобы искусственные переменные оставлять в базисе всегда, когда коэффициент в ведущем столбце положительный или отрицательный. Фактически это правило применяется в конце первого этапа, когда удаляем нулевые искусственные переменные из базисного решения, перед тем как приступить ко второму этапу.
На следующем шаге рассмотрим решение задачи линейного программирования двухэтапным методом.
