На этом шаге мы перечислим эти свойства.

Следующие основные свойства полезны для упрощения и преобразования сумм и могут быть легко получены из свойств сложения и умножения суммируемых элементов. Во-первых:

   _n            
   ∑ 1 = 1 + 1 + ... + 1 + 1 = n    .
  ⁱ⁼¹            n раз

Обратите внимание, что f(i) - постоянная величина (1), не зависящая от индекса i. Точно так же

   _n            
   ∑ k = k + k + ... + k + k = k * n    .
  ⁱ⁼¹            n раз

Предыдущий пример показывает также, что если один и тот же множитель в f() не зависит от индекса, его можно вынести за знак суммы:

   _n      _n            _n              _n            
   ∑ k = ∑ (k * 1) = ∑ k * 1 = k * ∑ 1 = k * n.   (3.5)
  ⁱ⁼¹     ⁱ⁼¹          ⁱ⁼¹            ⁱ⁼¹

В этом случае постоянный множитель k (считаем, умноженный на 1) не зависит от i и может быть вынесен за знак суммы, чтобы стать множителем всей суммы. Из (3.5) видно, что скобки внутри суммы не нужны в тех случаях, когда f() не содержит внутри себя операций сложения. В общем виде это свойство выглядит так:

   _n                 _n            
   ∑ k * f(i) = k * ∑ f(i)      .
  ^i=m               ^i=m

что следует из дистрибутивного закона умножения суммы, где выражение можно упростить, вынося общий множитель k из всех слагаемых. Множитель k может быть произведением нескольких множителей, которые не зависят от индекса и могут содержать верхние и нижние пределы, как показано в следующем примере:

   _n                          _n            
   ∑ a^m * n² * i³ = a^m * n² * ∑ i³      .
  ^i=m                         ^i=m

где a - некоторая константа.

Наконец, суммы, в которых функция f() состоит из нескольких слагаемых, можно разложить на несколько сумм, а именно:

   _n                    _n          _n            
   ∑ (f₁(i) + f₂(i)) = ∑ f₁(i) + ∑ f₂(i)      .
  ^i=m                  ^i=m        ^i=m

На следующем шаге мы рассмотрим арифметическую прогрессию.

Предыдущий шаг Содержание Следующий шаг