На этом шаге рассмотрим общую идею симплекс-метода.
Графический способ решения задачи линейного программирования показывает, что оптимальное решение этой задачи всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений (в математике она также называется крайней точкой множества). Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой задачи линейного программирования.
Переход от геометрического способа решения задачи линейного программирования к симплекс-методу лежит через алгебраическое описание крайних точек пространства решений. Для реализации этого перехода сначала надо привести задачу линейного программирования к стандартной (канонической) форме:
- преобразовать неравенства ограничений в равенства путем введения дополнительных переменных;
- преобразовать свободные переменные в неотрицательные;
- преобразовать задачу максимизации в задачу минимизации.
Стандартная форма задачи линейного программирования необходима, потому что она позволяет получить базисное решение (используя систему уравнений, порожденную ограничениями). Это (алгебраическое) базисное решение полностью определяет все (геометрические) крайние точки пространства решений. Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение среди всех базисных.
Для начала работы требуется, чтобы заданная система ограничений выражалась равенствами, причем в этой системе ограничений должны быть выделены базисные неизвестные. Решение задачи при помощи симплекс-метода распадается на ряд шагов. На каждом шаге от данного базиса Б переходят к другому, новому базису Б1 с таким расчетом, чтобы значение функции Z уменьшалось, т. е. ZБ1 ≤ ZБ. Для перехода к новому базису из старого базиса удаляется одна из переменных и вместо нее вводится другая из числа свободных. После конечного числа шагов находится некоторый базис Б(k), для которого ZБ(k) есть искомый минимум для линейной функции Z, а соответствующее базисное решение является оптимальным либо выясняется, что задача не имеет решения.
На следующем шаге рассмотрим процесс определения базисных решений в задаче линейного программирования.
