Шаг 40.
Рекурсия на Python. ... . Предварительные математические соглашения. Суммы и произведения. Дифференцирование

    На этом шаге мы рассмотрим некоторые из его возможностей.

    Ещё одна полезная сумма: 

       n
   S = ∑ i * ri = 1 * r1 + 2 * r2 + 3 * r3 + ... + n * rn    (3.10)
      i=1
которую можно считать гибридом сумм арифметической и геометрической прогрессий. Формулу для этой суммы можно вывести следующим образом. Сначала рассмотрим частичную сумму геометрической прогрессии и соответствующую ей сокращённую формулу: 
    T = 1 + r + r2 + ... + rn = (rn+1 - 1)/(r - 1).

    Затем продифференцируем её по r: 

    dT
   ---- = 1 + 2r + 3r2 +... + nrn-1 = (nrn+l - (n + 1)rn + 1) / (r - 1)2	   (3.11)
    dr
и умножим на r, чтобы получить формулу для (3.10): 
      n
  S = ∑ i * ri = r + 2 * r2 + 3 * r3 + ... + n * rn = r * (nrn+l - (n + 1)rn + 1)/(r - 1)2 (3.12)
     i=1

    Эти формулы можно использовать для упрощения похожих сумм. Например, пусть 

       N+1
   S = ∑ i * 2i-1 = 1 * 1 + 2 * r2 + 3 * 22 + 4 * 23 + ... + (N + 1) * 2N   .
       i=1

    Эта сумма - частный случай (3.11), когда r = 2 и n = N + 1. После подстановки этих значений в общую формулу получаем: 

    S = ((N + 1)2N+2 - (N + 2)2N+1 + 1)/1 = 2N+1(2N + 2 - N - 2) + 1 = N2N+1 + 1.

    На следующем шаге мы рассмотрим произведения.




Предыдущий шаг Содержание Следующий шаг